Exposé n° 69 : Géométrie axiomatique, d’Euclide à Hilbert

L’étude de la géométrie remonte à l’Antiquité. Euclide dans « Les éléments » énonce des axiomes sur lesquels il base ses travaux de géométrie. Parmi eux se trouve un axiome peu intuitif: l’axiome des parallèles. Cet axiome intrigue les mathématiciens qui, au cours des siècles, tentent de le comprendre et se demandent s’il est une conséquence des autres (et donc inutile en tant qu’axiome) ou s’il est faux. On réalise enfin au début du XIXe siècle (notamment avec les travaux de Lobachevski, Bolyai, Gauss, …) qu’il est indépendant des autres axiomes, ce qui ouvre la porte à des géométries surprenantes où l’axiome des parallèles d’Euclide est supposé faux. Vers 1900, David Hilbert propose une axiomatisation rigoureuse et solide de la géométrie (euclidienne ou non). Cet exposé a pour but de donner un aperçu de ce cheminement depuis Euclide jusque Hilbert et de présenter un modèle de géométrie non-euclidienne. À la demande et en fonction du temps imparti, cet exposé peut être plus ou moins technique et plus ou moins historique.

Exposé proposé par Quentin Brouette