Exposé n° 71 : De la nature des nombres

Entiers, rationnels, réels, voire même complexes, les nombres font partie de notre quotidien. Pourtant le chemin qui nous a mené jusqu’à eux a été long et semé d’embûches, nous amenant à repousser continuellement les limites de notre conception de la réalité. Cet exposé est une invitation à parcourir une partie de ce chemin, pour illustrer comment les mathématiciens ont dû repenser l’idée même de nombre afin de mieux en cerner la nature.
En raisonnant par l’absurde, Euclide a montré que la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1 est un réel qui n’est pas rationnel. Au fil des siècles, les mathématiciens ont réussi à établir toute une hiérarchie sur les nombres réels, selon leur nature : les nombres constructibles à la règle et au compas, les nombres radicaux et les nombres algébriques. La compréhension de cette hiérarchie a permis de répondre à des questions célèbres, comme par exemple la fameuse « quadrature du cercle ».

Exposé proposé par Maja Volkov.